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Blum wurde in New Jersey geboren und studierte an der University of Pennsylvania, bevor er sich dem Schauspiel widmete. Seine Anfänge machte er auf der Theaterbühne, doch mit Rollen in Filmen wie «Crocodile Dundee» oder dem Bruce-Willis-Vehikel «Blind Date – Verabredung mit einer Unbekannten» entdeckte er in den 1980er-Jahren die Arbeit vor der Kamera für sich.
Blums Fernsehkarriere nahm ihren Anfang mit Episodenrollen in «Chefarzt Dr. Westphall» und «Miami Vice» sowie mit einer wiederkehrenden Rolle in der kurzlebigen Sitcom «Sweet Surrender». Er wurde daraufhin zu einem beliebten Charakterdarsteller. Zu seinen jüngsten Rollen gehören Parts im dritten «Step Up»-Film und in der Netflix-Thrillerkomödie «Die Münzraub-AG» sowie in den sehr positiv besprochenen Serien «Mozart in the Jungle» und «Succession».