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Böhme studierte Nationalökonomie, wurde dann Diplom-Volkswirt und entdeckte daraufhin seine Liebe zum Journalismus. Bereits im Jahr 1958 fing er beim „Spiegel“ an, im Vorfeld berichtete er für die Zeitungen „Vereinigte Wirtschaftsdienste“ und „Deutsche Zeitung“. Im Hause „Spiegel“ war er schon im Jahr 1969 Redaktionsleiter des Wirtschafts-Ressorts, dort war er zunächst nur als Redakteur tätig. Nach seiner „Spiegel“-Zeit wurde er im Jahr 1990 Herausgeber der „Berliner Zeitung“, wo er vier Jahre später schon wieder ausschied.
Richtig bekannt wurde er mit der Sat.1-Sendung «Talk im Turm», die bis ins Jahr 1998 ausgestrahlt wurde und ein Millionenpublikum zum Einschalten bewegte. Bei der Bundestagwahl 2005 wagte Sat.1 ein Comeback, fiel aber mit der Sendung auf die Nase. Ab Ende 1997 war er auch Co-Moderator des «Grünen Salons» bei n-tv, zwischen 2000 und 2002 führte er durch die Sendung «Talk im Berlin». Im Jahr 2007 kehrte er mit «Menschen bei Maischberger» auf die Fernsehschirme zurück, denn er vertrat Sandra Maischberger in ihrer Babypause.