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Roberts begann seine Schauspielkarriere als Theaterdarsteller, bevor er im Jahre 1959 die Rolle seines Lebens annahm: Als ältester Sohn Adam war er in den 60er-Jahren eines der Idole der Serie «Bonanza». Im Jahre 1965 verließ er das Format nach der sechsten Staffel, weil er in seiner weiteren Karriere nicht auf die Rolle des ewigen Cowboys reduziert werden wollte. Zudem warf er den Produzenten vor, banales und niveauloses Fernsehen zu produzieren. In den folgenden Jahren blieb Roberts zwar der Schauspielerei treu, konnte aber lange nicht auf seine vorherigen Erfolge aufbauen. Erst die Hauptrolle in der Krankenhausserie «Trapper John, M.D.» holte ihn zurück ins Rampenlicht und bescherte ihm eine «Emmy»-Nominierung im Jahr 1981.